Question

[Nguyễn Long Vượng]

Cho tam giác ABC có AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm

a) Chứng minh tam giác ABC vuông

b) Kẻ đường cao AH. Tính AH và BH

c) Tính góc B, góc C

d) Kẻ HD vuông góc với AB; HE vuông góc với AC. Chứng minh \(DE^3=BD.CE.BC\)

Answer 1

[phong nguyen]

a) ta có \(\sqrt{3^2+4^2}=5\)

=> △ABC vuông tại A

b) ta có AH.BC=AB.AC

=> \(AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{3\cdot4}{5}=2,4\left(\operatorname{cm}\right)\)

ta có: \(BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{3^2}{5}=1,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

c) \(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac45=0,8\)

=> góc B xấp xỉ 58,13 độ

=> góc C= 90 độ- 58,13 độ=36,87 độ

d) dễ CM: tứ giác AEHD là hcn

=> AH=DE

ta có: \(BD\cdot CE\cdot BC=\frac{BH^2\cdot CH^2\cdot BC}{AB\cdot AC}\)

\(BD\cdot CE\cdot BC=\frac{\left(AH^2\right)^2\cdot BC}{AH\cdot BC}=AH^3=DE^3\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[Doãn Hải Minh]

a,

\(AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)

\(BC^2 = 5^2 = 25\)

Do \(AB^2 + AC^2 = BC^2 = 25\) theo định lý pytago đảo, \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

b,

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\implies AH\cdot5=3\cdot4\implies AH=\frac{12}{5}=2{,}4\) cm

\(AB^2=BH\cdot BC\implies3^2=BH\cdot5\implies BH=\frac{9}{5}=1{,}8\) cm

c,

\(\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5} = 0{,}8 \implies \widehat{B} \approx 53^\circ 8'\)

\(\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} \approx 90^\circ - 53^\circ 8' = 36^\circ 52'\)

d,

Tứ giác \(ADHE\) có 3 góc vuông \(\left(\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^{\circ}\right)\) nên là hình chữ nhật \(\) \(\implies DE=AH\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) vuông tại \(H:\)

\(HD^2 = BD \cdot DA \implies BD = \frac{HD^2}{AB}\)

mà \(HD=AE\) nên \(BD = \frac{AE^2}{AB}\)

\(HE^2 = CE \cdot EA \implies CE = \frac{HE^2}{AC}\)

mà \(HE=AD\) nên \(CE = \frac{AD^2}{AC}\)

Ta có:

\(BD \cdot CE = \frac{AE^2 \cdot AD^2}{AB \cdot AC} = \frac{(AD \cdot AE)^2}{AB \cdot AC}\)

mặt khác, \(AD \cdot AE = \frac{AH^3}{BC}\) ( Do \(AH \cdot BC = AB \cdot AC\) và \(AD \cdot AB = AH^2, AE \cdot AC = AH^2\) ) và \(AB \cdot AC = AH \cdot BC\)

\(BD \cdot CE \cdot BC = \frac{AH^4}{AB \cdot AC} \cdot BC = \frac{AH^4}{AH \cdot BC} \cdot BC = AH^3\)

Vì \(DE = AH\) nên \(DE^3 = BD \cdot CE \cdot BC\) (dpcm)

Answer 3

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: XétΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>AH=12/5=2,4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH=\frac{3^2}{5}=1,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét ΔABC vuông tại A có sin B=\(\frac{AC}{BC}=\frac45\)

nên \(\hat{B}\) ≃53 độ

ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ACB}=90^0-53^0=37^0\)

d: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\)

=>\(CH=\frac{CA^2}{CB}\)

\(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\frac{BH}{CH}\)

Xét ΔBHA vuông tại H có HD là đường cao

nên \(BD\cdot BA=BH^2\)

=>\(BD=\frac{BH^2}{AB}\)

Xét ΔCHA vuông tại H có HE là đường cao

nên \(CE\cdot CA=CH^2\)

=>\(CE=\frac{CH^2}{CA}\)

\(BD\cdot CE\cdot BC=\frac{BH^2}{AB}\cdot\frac{CH^2}{AC}\cdot BC\)

\(=\frac{\left(BH\cdot CH\right)^2}{AH\cdot BC}\cdot BC=\frac{AH^4}{AH}=AH^3=DE^3\)