Question

[Trịnh Ngọc Diệp]

Tìm các số tự nhiên m,n thỏa mãn phương trình:
\(9^{m}-3^{m}=n^4+2n^3+n^2+2n\)

Answer 1

[Nguyễn Quốc Đạt]

Ta có:

$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$

$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$

TH1: $m=0$

$0=n^2(n+1)^2+2n$

$\Rightarrow n=0$.

TH2: $m\ge1$

Xét modulo $3$:

$n^2(n+1)^2+2n\equiv0\pmod3$

$\Rightarrow n\equiv0$ hoặc $1\pmod3$.

Thử $m=1$:

$9-3=6$

$\Rightarrow n^4+2n^3+n^2+2n=6$

$\Rightarrow n=1$.

Với $m\ge2$, ta có:

$n^2(n+1)^2<n^2(n+1)^2+2n<(n+1)^4$

$\Rightarrow n(n+1)<3^m<(n+1)^2$

Nhưng giữa $n(n+1)$ và $(n+1)^2$ không thể có lũy thừa $3^m$ thỏa mãn điều kiện trên.

Vậy: $(m,n)=(0,0),(1,1)$.

Answer 2

[phong nguyen]

nhân cả hai vế với 4 và +1 ta dc

\(4\left(9^{m}-3^{m}\right)+1=4\left(n^4+2n^3+n^2+2n\right)+1\)

\(4\cdot3^{2m}-4\cdot3^{m}+1=4n^4+8n^3+4n^2+8n+1\)

\(\left(2\cdot3^{m}-1\right)^2=4n^4+8n^3+4n^2+8n+1\)

ta có: \(VP-\left(2n^2+2n\right)^2=8n+1>0\)

=> \(VP>\left(2n^2+2n\right)^2\) (1)

ta có: \(\left(2n^2+2n+1\right)^2-VP=4n\left(n-1\right)\)

từ (1)=> \(VP\ge\left(2n^2+2n+1\right)^2\)

=> \(\left(2n^2+2n+1\right)^2-VP\le0\Rightarrow4n\left(n-1\right)\le0\)

TH1: n=0

=> \(3^{2m}=3^{m}\Rightarrow2m=m\Rightarrow m=0\) (TM)

TH2: n=1

=> \(3^{2m}-3^{m}=6\)

đặt \(t=3^{m}\left(t>0\right)\)

\(\Rightarrow t^2-t-6=0\Rightarrow\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0\)

vì t>0=> t=3=> m=1

vậy (m,n) thỏa mãn là (0,0);(1,1)