Question

[Phạm Nguyễn Bảo Phụng]

.Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, He BC.

1. Giả sử AB = 3 cm, góc BCA=30°. Tính BC, AC (làm tròn đến hàng phần mười)
2. Kẻ HE L AB tại E, HF LAC tại F. Chứng minh AB.AC = AH.BC và BE.CF.BC =
3. Cho BC = 2a.. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF. mìnhnhờ mọi người làm giúpcâu 3 ạ, mình xin cảm ơn.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: ΔABC vuông tại A có \(\sin ACB=\frac{AB}{BC}\)

=>\(\frac{3}{BC}=\sin30=\frac12\)

=>BC=6(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=6^2-3^2=36-9=27\)

=>\(AC=3\sqrt3\) ≃5,2(cm)

b: ΔABC vuông tại A nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\left(1\right)\)

ΔABC có AH là đường cao nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

3: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\)

=>\(AE=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\)

=>\(AF=\frac{AH^2}{AC}\)

Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>\(S_{AEHF}=AE\cdot AF=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}\)

Để AEHF lớn nhất thì \(AH^3\) lớn nhất

hay AH lớn nhất

Gọi M là trung điểm của BC

Xét ΔAHM vuông tại H có AM là cạnh huyền

nên AH<=AM

Dấu '=' xảy ra khi H trùng với M

=>AH⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

=>ΔABC vuông cân tại A

=>\(AB=AC\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(2\cdot AB^2=\left(2a\right)^2=4a^2\)

=>\(AB^2=2a^2\)

=>\(AB=a\sqrt2\)

=>\(AC=a\sqrt2\)

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot2a=a\sqrt2\cdot a\sqrt2=2a^2\)

=>AH=a
=>\(S_{AEHF}=\frac{AH^3}{BC}=\frac{a^3}{2a}=\frac{a^2}{2}\)

Answer 2

[Nguyễn Gia Hân]

Khê lắm....