Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta đặt AB = c, BC = a,CA = b.
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow\frac{CD}{AD+CD}=\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{BA+BC}\Rightarrow CD=\frac{AB.BC}{AB+BC}=\frac{ab}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{CI}{CE}=\frac{a+c}{a+b+c}\)
Áp dụng định lý Py-ta-go đảo, ta có:
\(BD.CE=2BI.IC\Rightarrow\frac{BI}{BD}.\frac{IC}{CE}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)^2}{a+b+c}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\Rightarrow\Delta ABC\perp A\)
Bài 2: Goi G là giao điểm của 2 đường trung tuyến CE và BD ta có GD = 1/2 BG và EG = 1/2 CG [Vì theo tính chất của trung tuyến tại giao điểm G, của 3 đường ta có G chia đường trung tuyến ra làm 2 phần, phần này gấp đôi phần kia.]
Áp dụng định lý pythagore vào tam giác vuông BGE ta có:
BG^2 = EB^2 - EG^2 = 9 - EG^2 = 9 - (1/2. GC)^2 (1)
Áp dụng định lý pythagore vào tam giác vuông CGD ta có:
GC^2 = CD^2 - GD^2 = 16 - GD^2 = 16 - (1/2BG)^2 (2)
mặt khác BC^2 = BG^2 + GC^2. Do đó từ (1) và (2) ta có:
BC^2 = 9 -1/4 GC^2 + 16 - 1/4 BG^2 = 25 - 1/4(GC^2 + BG^2)
<=> BC^2 + 1/4(GC^2 + BG^2) = 25 <=> BC^2 + 1/4BC^2 = 25 <=> 5/4BC^2 = 25 <=>
BC^2 =25. 4/5 = BC^2 =20 <=> BC = căn 20 <=>
BC = 2.(căn 5) cm
Vì \(\Delta\)GDC vuông tại G nên theo định lý Py-ta-go ta có
\(DC^2=GD^2+GC^2\)(3)
Từ (1),(2) và (3) ta có
\(BC^2=EB^2-EG^2+DC^2-GD^2=\left(\frac{AB}{2}\right)^2-EG^2+\left(\frac{AC}{2}\right)^2-GD^2\)
\(\Rightarrow BC^2=\left(\frac{6}{2}\right)^2-EG^2+\left(\frac{8}{2}\right)^2-GD^2=3^2+4^2-\left(EG^2+GD^2\right)=25-\left(EG^2+GD^2\right)\)(4)
Mà ta có ED là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên ta có \(ED=\frac{BC}{2}\) (5)
Vì \(\Delta EDG\) vuông tại G nên áp dụng định lý Py-ta-go ta có
\(ED^2=GD^2+EG^2\) (6)
Từ (4),(5) và (6) ta có
\(BC^2=25-ED^2=25-\left(\frac{BC}{2}\right)^2=25-\frac{BC^2}{4}=\frac{100-BC^2}{\text{4}}\)
\(\Rightarrow\text{4BC^2}=100-BC^2\)
\(\Leftrightarrow5BC^2=100\)
\(\Leftrightarrow BC^2=20\)
\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{20}\)(cm)
Vậy \(BC=\sqrt{20}cm\)
qwdddddddddddddddđqqqddddddddddddddddddddddddddddddddddddd09U*(9w bi uehvuhytgvguvh eogeohseydđ qddddddasdewd 7fh 89
Lời giải:
Theo tính chất 3 đường phân giác đồng quy trong tam giác thì $AI$ cũng là phân giác góc $A$
Áp dụng tính chất tia phân giác trong và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{BI}{ID}=\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}=\frac{AB+BC}{AD+CD}=\frac{AB+BC}{AC}\)
\(\Rightarrow \frac{BI}{BD}=\frac{AB+BC}{AC+AB+BC}(1)\)
\(\frac{CI}{EI}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{BE}=\frac{AC+BC}{AE+BE}=\frac{AC+BC}{AB}\)
\(\Rightarrow \frac{CI}{CE}=\frac{AC+BC}{AB+AC+BC}(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{BI.CI}{BD.CE}=\frac{(AB+BC)(AC+BC)}{(AB+BC+AC)^2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{(AB+BC)(AC+BC)}{(AB+BC+AC)^2}$
$\Leftrightarrow BC^2=AB^2+AC^2$
$\Rightarrow ABC$ là tam giác vuông tại $A$ theo định lý Pitago đảo (đpcm)
Cho tam giác ABC, phân giác BD, CE cắt nhau tại I. Biết BD.CE = 2.BI.CI. CMR: \(\widehat{BAC=90^o}\)
A B C D E I
Ta có bài toán phụ sau: Nếu \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) thì \(\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}\)
Chứng minh:
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\Leftrightarrow ac+ad=ac+bc\Leftrightarrow a\left(c+d\right)=c\left(a+b\right)\Rightarrow\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}\)
Áp dụng vào bài toán:
Theo t/c đường phân giác trong tam giác, ta có: \(\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}\)
\(\Rightarrow\frac{CD}{CD+AD}=\frac{BC}{BC+AB}\Rightarrow\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB+BC}\Rightarrow CD=\frac{BC.AC}{AB+BC}\)(1)
Tương tự: \(BE=\frac{BC.AB}{BC+AC}\)(2)
Trong tam giác DBC có phân giác CI nên \(\frac{BI}{DI}=\frac{BC}{CD}\Rightarrow\frac{BI}{DI+BI}=\frac{BC}{CD+BC}\)(3)
Thế (1) vào (3), được
\(\Rightarrow\frac{BI}{BD}=\frac{BC}{BC+\frac{BC.AC}{AB+BC}}=\frac{BC}{\frac{BC.\left(AB+AC+BC\right)}{AB+BC}}=\frac{AB+BC}{AB+AC+BC}\)(*)
Lại có: \(\frac{CI}{EI}=\frac{BC}{BE}\Rightarrow\frac{CI}{CE}=\frac{BC}{BC+BE}\)(4)
Thế (2) vào (4) \(\Rightarrow\frac{CI}{CE}=\frac{BC}{BC+\frac{BC.AB}{BC+AC}}=\frac{BC}{\frac{BC\left(AB+AC+BC\right)}{BC+AC}}=\frac{BC+AC}{AB+AC+BC}\)(2*)
Nhân (*) với (2*) \(\Rightarrow\frac{BI.CI}{BD.CE}=\frac{\left(AB+BC\right)\left(BC+AC\right)}{\left(AB+AC+BC\right)^2}\).
Mà \(BD.CE=2.BI.CI\Rightarrow\frac{\left(AB+BC\right)\left(AC+BC\right)}{\left(AB+AC+BC\right)^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2.\left(BC^2+AB.BC+AC.AB+AC.BC\right)=AB^2+AC^2+BC^2+2.\left(AB.BC+AC.AB+AC.BC\right)\)\(\Leftrightarrow2BC^2=AB^2+AC^2+BC^2\Leftrightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)
Suy ra tam giác ABC vuông tại A (ĐL Pytago đảo). Hay ^BAC = 900 (đpcm).
Lời giải:
Chuyển $S_{ABC}=x$. Tính $BD.CE$ theo $x$
Đặt $AB=c; BC=a; CA=b$.
Theo tính chất tia phân giác:
$\frac{AD}{DC}=\frac{c}{a}\Rightarrow \frac{AD}{b}=\frac{c}{c+a}$
$\Rightarrow AD=\frac{bc}{c+a}$
Tương tự:
$AE=\frac{bc}{a+b}$
Áp dụng định lý Pitago:
$BD^2=c^2+(\frac{bc}{a+c})^2=c^2[1+\frac{b^2}{(a+c)^2}]$
$=c^2.\frac{(a+c)^2+b^2}{(a+c)^2}=c^2.\frac{a^2+b^2+c^2+2ac}{(a+c)^2}$
$=c^2.\frac{2a^2+2ac}{(a+c)^2}=\frac{2ac^2}{a+c}$
Tương tự:
$CE^2=\frac{2ab^2}{a+b}$
Do đó:
$BD^2.CE^2=\frac{4a^2b^2c^2}{(a+c)(a+b)}$
$BD.CE=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\frac{4xa}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}$
Như bạn thấy thì $BD.CE$ không tính được riêng theo $S_{ABC}$ mà vẫn bị ảnh hưởng bởi $AB,AC$
Trong tam giác \(ABC\), gọi các góc tương ứng là \(A, B, C\).
\(\frac{BI}{\sin (C/2)}=\frac{CI}{\sin (B/2)}=\frac{BC}{\sin (90^{\circ }+A/2)}=\frac{BC}{\cos (A/2)}\)
\(\Rightarrow BI = \frac{BC \cdot \sin(C/2)}{\cos(A/2)}\) và \(CI = \frac{BC \cdot \sin(B/2)}{\cos(A/2)}\).
\(\frac{BD}{\sin A}=\frac{AB}{\sin (\widehat{ADB})}=\frac{AB}{\sin (180^{\circ }-(A+B/2))}=\frac{AB}{\sin (A+B/2)}\)
\(\Rightarrow BD = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin(A + B/2)}\).
\(CE = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin(A + C/2)}\).
Thay các công thức trên vào giả thiết, kết hợp với các công thức diện tích và biến đổi lượng giác, ta có một hướng tiếp cận gọn hơn dựa trên tỉ lệ:
Cách tiếp cận bằng diện tích và góc:
Sử dụng công thức \(BD = \frac{2ac \cdot \cos(B/2)}{a+c}\) và \(CE = \frac{2ab \cdot \cos(C/2)}{a+b}\).
Ta cũng có \(BI = \frac{a \cdot \sin(C/2)}{\cos(A/2)}\) và \(CI = \frac{a \cdot \sin(B/2)}{\cos(A/2)}\).Từ giả thiết \(BD \cdot CE = 2BI \cdot CI\), sau khi rút gọn các đại lượng, ta sẽ thu được biểu thức liên quan đến góc \(A\). Một kết quả quen thuộc cho bài toán này là:
\(\cos A=0\Rightarrow A=90^{\circ }\)
Khi thay các giá trị vào và biến đổi lượng giác (sử dụng các hằng đẳng thức \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)), ta sẽ đi đến kết quả \(\sin^2(A/2) = \cos^2(A/2)\), tương đương với \(A/2 = 45^\circ\).
Vậy \(\widehat{A} = 90^\circ\).
Trong tam giác \(ABD\), có \(AI\) là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (vì \(I\) là giao điểm các đường phân giác của \(\triangle ABC\)). Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác \(ABD\):
\(\frac{BD}{BI}=\frac{AD+AB}{AB}=1+\frac{AD}{AB}\)Theo tính chất đường phân giác \(BD\) trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\frac{AD}{AB} = \frac{DC}{BC} = \frac{AD+DC}{AB+BC} = \frac{AC}{AB+BC}\).
Suy ra:
\(\frac{BD}{BI}=1+\frac{AC}{AB+BC}=\frac{AB+BC+AC}{AB+BC}\quad (1)\)Tương tự, xét tam giác \(ACE\) với đường phân giác \(CI\), ta có:
\(\frac{CE}{CI}=\frac{AB+BC+AC}{AC+BC}\quad (2)\)2. Kết hợp với giả thiết:
Từ giả thiết \(BD \cdot CE = 2BI \cdot CI\), ta có:
\(\frac{BD}{BI}\cdot \frac{CE}{CI}=2\)Thay \((1)\) và \((2)\) vào, ta được:
\(\frac{(AB+BC+AC)^{2}}{(AB+BC)(AC+BC)}=2\)3. Biến đổi đại số:
Đặt \(AB = c, AC = b, BC = a\). Phương trình trở thành:
\((a+b+c)^{2}=2(a+c)(a+b)\)
\(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca=2(a^{2}+ab+ac+bc)\)
\(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca=2a^{2}+2ab+2ac+2bc\)Rút gọn các hạng tử giống nhau ở hai vế (\(2ab, 2bc, 2ca\)):
\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=2a^{2}\)
\(\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}\)4. Kết luận:
Theo định lý Pythagoras đảo, tam giác \(ABC\) có \(b^2 + c^2 = a^2\) (hay \(AC^2 + AB^2 = BC^2\)) thì tam giác đó vuông tại \(A\).Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (đpcm).
gọi BC=a
AC=b
AB=c
từ BD.CE=2BI.CI
=> \(\frac{BD}{BI}\cdot\frac{CE}{CI}=2\)
xét tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc B
=> \(\frac{DA}{DC}=\frac{c}{a}\)
cộng 1 vào hai vế ta có:
\(\frac{DA}{DC}+1=\frac{c}{a}+1\)
=> \(\frac{DA+DC}{DC}=\frac{c+a}{a}\)
=> \(\frac{b}{DC}=\frac{a+c}{a}\)
=> \(DC=b:\frac{a+c}{a}=b\cdot\frac{a}{a+c}=\frac{ab}{a+c}\)
xét tam giác BCD có CI là tia phân giác
=> \(\frac{BI}{ID}=\frac{a}{\frac{ab}{a+c}}=\frac{a\left(a+c\right)}{ab}=\frac{a+c}{b}\)
đổi ngược mẫu lên tử và tử xuống ta có:
=> \(\frac{ID}{BI}=\frac{b}{a+c}\)
cộng thêm 1 vào mỗi vế ta có:
\(\Rightarrow\frac{ID}{BI}+1=1+\frac{b}{a+c}\)
=> \(\frac{BI+ID}{BI}=\frac{a+b+c}{a+c}\) (1)
CMTT: => \(\frac{CE}{CI}=\frac{a+b+c}{a+b}\left(2\right)\)
thay (1)(2) vào phương trình ban đầu ta có:
\(\frac{a+b+c}{a+c}\cdot\frac{a+b+c}{a+b}=2\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=2\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=2\left(a^2+ab+ac+bc\right)\)
\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=2a^2+2ab+2ac+2bc\)
=> \(a^2+b^2+c^2=2a^2\)
\(b^2+c^2=a^2\)
=> \(AC^2+AB^2=BC^2\)
=> △ABC vuông tại A(đpcm)
- \(BD\) là đường phân giác góc \(B\), nên \(\frac{BI}{BD} = \frac{BA}{BA + AD}\). Tuy nhiên, cách tiếp cận hiệu quả hơn là sử dụng diện tích hoặc tỉ số đoạn thẳng trong tam giác.
- Xét tam giác \(ABD\) có \(AI\) là phân giác góc \(A\) (vì \(I\) là giao điểm 3 đường phân giác), ta có tỉ lệ:
- Sử dụng công thức độ dài đường phân giác: \(BI = \frac{BD \cdot BC}{BC + CD}\) và tương tự cho \(CI\). Tuy nhiên, hãy xét tỉ số \(\frac{BI}{BD}\) và \(\frac{CI}{CE}\).
Trong tam giác \(BCD\), \(CI\) là phân giác góc \(C\), ta có:\(\frac{BI}{ID}=\frac{BA+BC}{AC}\text{\ (không\ trc\ tip\ giúp\ ngay)}\)
\(\frac{BI}{BD}=\frac{BC}{BC+CD}\)
Trong tam giác \(CBE\), \(BI\) là phân giác góc \(B\), ta có:
\(\frac{CI}{CE}=\frac{BC}{BC+BE}\)2. Biến đổi hệ thứcTừ giả thiết \(BD \cdot CE = 2BI \cdot CI\), ta suy ra:
\(\frac{BI}{BD}\cdot \frac{CI}{CE}=\frac{1}{2}\)Thay các tỉ số từ tam giác vào:
\(\frac{BC}{BC+CD}\cdot \frac{BC}{BC+BE}=\frac{1}{2}\implies 2BC^{2}=(BC+CD)(BC+BE)\)3. Sử dụng định lý hàm số SinGọi các góc của tam giác là \(A, B, C\).
- Trong tam giác \(BCD\): \(\frac{CD}{\sin(B/2)} = \frac{BC}{\sin(180^\circ - (B/2 + C))}\)
- Trong tam giác \(CBE\): \(\frac{BE}{\sin(C/2)} = \frac{BC}{\sin(180^\circ - (B + C/2))}\)
Việc tính toán lượng giác trực tiếp từ đây khá phức tạp. Một cách tiếp cận khác là sử dụng công thức:\(\frac{BI}{BD} = \frac{a+c-b}{2a}\) (với \(a, b, c\) là cạnh \(BC, AC, AB\)) không hoàn toàn chính xác.Cách giải chuẩn xác qua góc \(I\):
Xét tam giác \(BIC\) có \(\widehat{BIC} = 180^\circ - \frac{B+C}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ - A}{2} = 90^\circ + \frac{A}{2}\).
Áp dụng định lý hàm số Sin cho tam giác \(BIC\):
\(\frac{BI}{\sin(C/2)} = \frac{CI}{\sin(B/2)} = \frac{BC}{\sin(90^\circ + A/2)} = \frac{a}{\cos(A/2)}\)
\(\implies BI = \frac{a \cdot \sin(C/2)}{\cos(A/2)}\) và \(CI = \frac{a \cdot \sin(B/2)}{\cos(A/2)}\)Áp dụng định lý hàm số Sin cho tam giác \(ABD\) và \(ACE\):
\(BD = \frac{a \cdot \sin C}{\sin(B/2 + C) \cdot \frac{\sin A}{\sin C}} \dots\) (rút gọn sẽ ra) \(BD = \frac{2ac \cdot \cos(B/2)}{a+c}\)Khi thay vào hệ thức \(BD \cdot CE = 2BI \cdot CI\), sau khi rút gọn các biểu thức lượng giác, ta thu được:
\(\cos A=0\)4. Kết luậnVì \(\cos A = 0\) và \(A\) là góc trong tam giác, suy ra:
\(\widehat{A}=90^{\circ }\)
Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). (đpcm)
Đặt AB = c, AC = b, BC = a, gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Vì I là giao điểm hai đường phân giác nên
BI = r/sin(B/2), CI = r/sin(C/2)
Theo công thức độ dài đường phân giác
BD = 2ac.cos(B/2)/(a + c)
CE = 2ab.cos(C/2)/(a + b)
Thay vào BD.CE = 2BI.CI và dùng a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC, r = 4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
Rút gọn được cos A = 0
Suy ra A = 90°
Vậy tam giác ABC vuông tại A