Câu hỏi của dung

Question

Tìm các số tự nhiên n để n4+4n là số nguyên tố.

Nguyễn Minh Nhật · Accepted Answer

Trường hợp 1: $n = 0$

$A = 0^4 + 4^0 = 0 + 1 = 1$.
Số $1$ không phải là số nguyên tố.
Loại $n = 0$.

Trường hợp 2: $n = 1$

$A = 1^4 + 4^1 = 1 + 4 = 5$.
Số $5$ là số nguyên tố.
Thỏa mãn $n = 1$.

Trường hợp 3: $n$ là số chẵn ($n \ge 2$)

Vì $n$ chẵn nên $n^{4}$ là số chẵn lớn hơn $0$.
Lũy thừa $4^{n}$ luôn luôn là một số chẵn.
Do đó, tổng của hai số chẵn $A = n^4 + 4^n$ là một số chẵn lớn hơn $2$.
Một số chẵn lớn hơn $2$ thì không thể là số nguyên tố (vì chia hết cho $2$).
Loại các số $n$ chẵn.

Trường hợp 4: $n$ là số lẻ lớn hơn $1$ ($n = 2k + 1$ với $k \ge 1$)Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích biểu thức thành nhân tử:
$A=n^{4}+4^{n}=n^{4}+4\cdot 4^{n-1}=n^{4}+4\cdot (2^{n-1})^{2}$Đặt $x = 2^{n-1}$, biểu thức trở thành dạng:
$A=n^{4}+4x^{4}$Áp dụng phương pháp thêm bớt để biến đổi thành hiệu hai bình phương (bổ đề Sophie Germain):
$A=(n^{4}+4n^{2}x^{2}+4x^{4})-4n^{2}x^{2}$
$A=(n^{2}+2x^{2})^{2}-(2nx)^{2}$
$A=(n^{2}+2x^{2}-2nx)(n^{2}+2x^{2}+2nx)$Thay ngược lại $x = 2^{n-1}$, ta được:
$A=(n^{2}-2\cdot n\cdot 2^{n-1}+2\cdot (2^{n-1})^{2})(n^{2}+2\cdot n\cdot 2^{n-1}+2\cdot (2^{n-1})^{2})$
$A=(n^{2}-n\cdot 2^{n}+2^{2n-1})(n^{2}+n\cdot 2^{n}+2^{2n-1})$Vì $n$ lẻ và $n > 1$ (tức là $n \ge 3$):

Nhân tử thứ nhất: $n^2 - n \cdot 2^n + 2^{2n-1} = (n - 2^{n-1})^2 + 2^{2n-2} > 1$.
Nhân tử thứ hai: $n^2 + n \cdot 2^n + 2^{2n-1} > 1$.

Vì biểu thức $A$ tích của hai thừa số đều lớn hơn $1$ nên $A$ là hợp số.

Loại các số $n$ lẻ lớn hơn $1$.

Kết luậnSố tự nhiên $n$ duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài là:
$\mathbf{n=1}$Câu trả lời: Trường hợp 1: $n = 0$

$A = 0^4 + 4^0 = 0 + 1 = 1$.
Số $1$ không phải là số nguyên tố.
Loại $n = 0$.

Trường hợp 2: $n = 1$

$A = 1^4 + 4^1 = 1 + 4 = 5$.
Số $5$ là số nguyên tố.
Thỏa mãn $n = 1$.

Trường hợp 3: $n$ là số chẵn ($n \ge 2$)

Vì $n$ chẵn nên $n^{4}$ là số chẵn lớn hơn $0$.
Lũy thừa $4^{n}$ luôn luôn là một số chẵn.
Do đó, tổng của hai số chẵn $A = n^4 + 4^n$ là một số chẵn lớn hơn $2$.
Một số chẵn lớn hơn $2$ thì không thể là số nguyên tố (vì chia hết cho $2$).
Loại các số $n$ chẵn.

Trường hợp 4: $n$ là số lẻ lớn hơn $1$ ($n = 2k + 1$ với $k \ge 1$)Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích biểu thức thành nhân tử:
$A=n^{4}+4^{n}=n^{4}+4\cdot 4^{n-1}=n^{4}+4\cdot (2^{n-1})^{2}$Đặt $x = 2^{n-1}$, biểu thức trở thành dạng:
$A=n^{4}+4x^{4}$Áp dụng phương pháp thêm bớt để biến đổi thành hiệu hai bình phương (bổ đề Sophie Germain):
$A=(n^{4}+4n^{2}x^{2}+4x^{4})-4n^{2}x^{2}$
$A=(n^{2}+2x^{2})^{2}-(2nx)^{2}$
$A=(n^{2}+2x^{2}-2nx)(n^{2}+2x^{2}+2nx)$Thay ngược lại $x = 2^{n-1}$, ta được:
$A=(n^{2}-2\cdot n\cdot 2^{n-1}+2\cdot (2^{n-1})^{2})(n^{2}+2\cdot n\cdot 2^{n-1}+2\cdot (2^{n-1})^{2})$
$A=(n^{2}-n\cdot 2^{n}+2^{2n-1})(n^{2}+n\cdot 2^{n}+2^{2n-1})$Vì $n$ lẻ và $n > 1$ (tức là $n \ge 3$):

Nhân tử thứ nhất: $n^2 - n \cdot 2^n + 2^{2n-1} = (n - 2^{n-1})^2 + 2^{2n-2} > 1$.
Nhân tử thứ hai: $n^2 + n \cdot 2^n + 2^{2n-1} > 1$.

Vì biểu thức $A$ tích của hai thừa số đều lớn hơn $1$ nên $A$ là hợp số.

Loại các số $n$ lẻ lớn hơn $1$.

Kết luậnSố tự nhiên $n$ duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài là:
$\mathbf{n=1}$

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

Đặt $A=n^4+4^{n}$

TH1: n=0

=>$A=0^4+4^0=1$ không là số nguyên tố

TH2: n=1

=>$A=1^4+4^1=1+4=5$ là số nguyên tố

TH3: n>=2 và n là số chẵn

=>$n^4$ ⋮2 và $4^{n}$ ⋮2

=>$n^4+4^{n}$ ⋮2

=>A⋮2 và A>2

=>A là hợp số

=>Loại

TH4: n là số lẻ

=>n=2k+1

$A=n^4+4^{n}$

$=n^4+4^{2k+1}=n^4+4\cdot4^{2k}=n^4+4\cdot\left(2^{k}\right)^4$

$=\left(n^2+2\cdot4^{k}\right)^2-4n^2\cdot4^{k}=\left(n^2+2\cdot4^{k}\right)^2-\left(2n\cdot2^{k}\right)^2$

$=\left(n^2+2\cdot4^{k}-2n\cdot2^{k}\right)\left(n^2+2\cdot4^{k}+2n\cdot2^{k}\right)$

=>A là hợp số

=>Loại

Câu trả lời:

Đặt $A=n^4+4^{n}$

TH1: n=0

=>$A=0^4+4^0=1$ không là số nguyên tố

TH2: n=1

=>$A=1^4+4^1=1+4=5$ là số nguyên tố

TH3: n>=2 và n là số chẵn

=>$n^4$ ⋮2 và $4^{n}$ ⋮2

=>$n^4+4^{n}$ ⋮2

=>A⋮2 và A>2

=>A là hợp số

=>Loại

TH4: n là số lẻ

=>n=2k+1

$A=n^4+4^{n}$

$=n^4+4^{2k+1}=n^4+4\cdot4^{2k}=n^4+4\cdot\left(2^{k}\right)^4$

$=\left(n^2+2\cdot4^{k}\right)^2-4n^2\cdot4^{k}=\left(n^2+2\cdot4^{k}\right)^2-\left(2n\cdot2^{k}\right)^2$

$=\left(n^2+2\cdot4^{k}-2n\cdot2^{k}\right)\left(n^2+2\cdot4^{k}+2n\cdot2^{k}\right)$

=>A là hợp số

=>Loại

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Phần quà đặc biệt từ OLM

Hè này, gói VIP OLM có gì cho bạn?

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP