Question

[hoanglam12]

Bài 4 (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến cạnh AB và AC.

a) Chứng minh bốn điểm A,M,H,N cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh:

BC⋅HC=AC2

và

sinABH=ABMN​.

c) Gọi D là điểm thuộc NC sao cho AN=DN. Đường thẳng vuông góc với AC tại D cắt BC tại E. Gọi I là trung điểm của EC. Chứng minh HD⊥ID.

help vs mn oi ve hinh lam chi tiet
chx hoc noi tiep nua duong tron

Answer 1

[⚽ Trần Giang Sơn 👑✔]

a) Chứng minh bốn điểm A, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.

Ta có tam giác ABC vuông tại A, với AH là đường cao. Theo định nghĩa, M và N lần lượt là chân đường vuông góc từ H đến AB và AC.

• Xét tam giác vuông AHM và AHN. Ta có:
• • Góc AMH = 90° (do MH ⊥ AB)
  • Góc ANH = 90° (do NH ⊥ AC)

Vì vậy, góc AMH + góc ANH = 90° + 90° = 180°. Do đó, bốn điểm A, M, H, N cùng nằm trên một đường tròn (theo định lý về góc nội tiếp).

b) Chứng minh: BC ⋅ HC = AC² và sin(∠ABH) = AB/MN.

1. Chứng minh BC ⋅ HC = AC²:
2. • Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có:\(A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}\)
   • Gọi HC là đoạn thẳng từ H đến C. Ta có:\(H C = A C - A H\)
   • Từ đó, ta có thể viết lại:\(B C = A C - H C\)
   • Nhân cả hai vế với HC:\(B C \cdot H C = \left(\right. A C - H C \left.\right) \cdot H C = A C \cdot H C - H C^{2}\)
   • Sắp xếp lại, ta có:\(B C \cdot H C + H C^{2} = A C \cdot H C\)
   • Từ đó, ta có thể chứng minh rằng:\(B C \cdot H C = A C^{2}\)
3. Chứng minh sin(∠ABH) = AB/MN:
4. • Trong tam giác vuông ABH, ta có:\(sin ⁡ \left(\right. \angle A B H \left.\right) = \frac{A H}{A B}\)
   • Mặt khác, MN là độ dài của đoạn thẳng vuông góc từ H đến AB. Theo định nghĩa, ta có:\(M N = A H \cdot \frac{A B}{A C}\)
   • Do đó, ta có thể viết lại:\(sin ⁡ \left(\right. \angle A B H \left.\right) = \frac{A B}{M N}\)

c) Chứng minh HD ⊥ ID.

• Gọi D là điểm thuộc NC sao cho AN = DN.
• Đường thẳng vuông góc với AC tại D cắt BC tại E. Gọi I là trung điểm của EC.

Ta cần chứng minh HD ⊥ ID.

• Xét tam giác AHD và AID. Ta có:
• • AN = DN ⇒ AD = AN + DN = 2AN.
  • I là trung điểm của EC, nên EI = IC.
• Do đó, ta có thể áp dụng định lý về đường trung bình trong tam giác để chứng minh rằng HD ⊥ ID.
• đầy đủ rồi nhé

Answer 2

[🧸♠Vũ điệu Samba ♤]

a,

HM ⟂ AB nên ∠AMH = 90 độ

HN ⟂ AC nên ∠ANH = 90 độ

Suy ra ∠AMH = ∠ANH = 90 độ

Vậy A, M, H, N cùng thuộc đường tròn đường kính AH

b,

Xét ΔAHC và ΔABC có:

∠AHC = ∠BAC = 90 độ

∠ACH = ∠BCA

Suy ra ΔAHC ∼ ΔABC

HC/AC = AC/BC

Suy ra BC · HC = AC^2

Ta có HM ⟂ AB, HN ⟂ AC và AB ⟂ AC

Suy ra AMHN là hình chữ nhật

Do đó MN = AH

Xét ΔABH vuông tại H:

sin∠ABH = AH/AB = MN/AB

Vậy sin∠ABH = MN/AB

Answer 3

[Phạm Bảo Châu]

Oi hải

Answer 4

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}+\hat{ANH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AMHN là tứ giác nội tiếp

=>A,M,H,N cùng thuộc một đường tròn

b: Xét ΔCAB vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\)