Question

[📚 Lirili Larila 🐸]

đố mấy idol giải bài này

Answer 1

[Doãn Hải Minh]

\(\forall x>0\) ta có:

\(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \le \frac{x + 1}{2\sqrt{2}}\)

Thật vậy:

\(\left(\frac{x+1}{2\sqrt{2}}\right)^2 - \frac{x^2}{1+x^2} = \frac{(x+1)^2}{8} - \frac{x^2}{1+x^2} = \frac{(x+1)^2(1+x^2) - 8x^2}{8(1+x^2)}\)

Phần tử số:

\((x^2+2x+1)(x^2+1) - 8x^2 = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1 - 8x^2 = x^4 + 2x^3 - 6x^2 + 2x + 1 = (x-1)^2(x^2 + 4x + 1) \ge 0\) ( luôn đúng \(\forall x\) )

\(\longrightarrow\) \(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \le \frac{x + 1}{2\sqrt{2}}\)

Tương tự cho \(y,z>0\) :

\(\frac{y}{\sqrt{1 + y^2}} \le \frac{y + 1}{2\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{z}{\sqrt{1 + z^2}}\le\frac{z + 1}{2\sqrt{2}}\)

Cộng vế theo vế \(3\) bất đẳng thức trên:

\(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} + \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}} + \frac{z}{\sqrt{1 + z^2}} \le \frac{(x + y + z) + 3}{2\sqrt{2}}\)

Thay \(x + y + z = 3\) vào vế phải:

Vế trái \(\le\frac{3 + 3}{2\sqrt{2}}=\frac{6}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\) . (ĐPCM)

Answer 2

[phong nguyen]

C1: dự đoán điểm rơi x=y=z=1

dùng Cô si 2 số(CT: \(\sqrt{xy}\le\frac12\left(x+y\right)\) )

\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}=\sqrt{x\cdot\frac{x}{1+x^2}}\)

nếu áp dụng Cô si ngay thì \(\sqrt{x\cdot\frac{x}{1+x^2}}\le\frac12\left(x+\frac{x}{1+x^2}\right)\)

dấu bằng xảy ra khi \(x=\frac{x}{1+x^2}\)

\(x=1\)

\(\frac{x}{1+x^2}=\frac{1}{1+1^2}=\frac12\)

ta đặt thêm hệ số n để cân bằng lại

\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{\left(nx\right)\cdot\left(\frac{1}{n}\cdot\frac{x}{1+x^2}\right)}\)

=> \(n=\frac{1}{2n}\) tại x=1

=> n= \(\frac{1}{\sqrt2}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)\cdot\left(\frac{x\sqrt2}{1+x^2}\right)}\le\frac{x}{2\sqrt2}+\frac{x\sqrt2}{2\left(1+x^2\right)}\)

ta có \(\frac{x}{1+x^2}\le\frac12\Rightarrow\frac{x\sqrt2}{2\left(1+x^2\right)}\le\frac{\sqrt2}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\le\frac{x}{2\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{4}\)

CMTT: \(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\le\frac{y}{2\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{4}\)

\(\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{z}{2\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{4}\)

=> \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{x+y+z}{2\sqrt2}+3\cdot\frac{\sqrt2}{4}=\frac{3\sqrt2}{2}\) (đpcm)

"=" xảy ra khi x=y=z=1

C2: dùng Bunhiacopxki 3 số

CT: \(\left(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\right)^2\le\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2\right)\)

\(P=\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{x}{1+x^2}}+\sqrt{y}\cdot\sqrt{\frac{y}{1+y^2}}+\sqrt{z}\cdot\sqrt{\frac{z}{1+z^2}}\)

=> \(P^2\le\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\right)\)

\(P^2\le3\cdot\frac32=\frac92\)

=> \(P\le\frac{3}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2}\) (đpcm)

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1