Câu hỏi của Dương Hoàng Mai Phương

Question

Cho Tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB và lấy E sao cho M là trung điểm của HE

Nguyễn Minh Nhật · Accepted Answer

Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán:

a) Chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật

Xét tứ giác AHBE, ta có M là trung điểm của đường chéo AB (theo giả thiết) và M là trung điểm của đường chéo HE (theo giả thiết).
Do hai đường chéo AB và HE cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên AHBE là hình bình hành.
Lại có AH là đường cao của △ABC nên AHB=90∘.
Hình bình hành AHBE có một góc vuông (AHB=90∘) nên AHBE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác ACHE là hình bình hành

Vì AHBE là hình chữ nhật (theo câu a) nên AE∥HB và AE=HB.
Do AH là đường cao của tam giác cân ABC (cân tại A) nên AH đồng thời là đường trung tuyến, suy ra H là trung điểm của BC, tức là HB=HC.
Do AE∥HB và H∈BC nên AE∥HC.
Do AE=HB và HB=HC nên AE=HC.
Tứ giác ACHE có cặp cạnh đối AE∥HC và AE=HC nên ACHE là hình bình hành.

c) Chứng minh các đường thẳng AH,CE,MN đồng quy

Xét tam giác ABC, M là trung điểm AB và N là trung điểm AC, do đó MN là đường trung bình của △ABC⇒MN∥BC.
Xét tứ giác MNCH, có MN∥HC (vì H∈BC) và MN=21BC=HC (do H là trung điểm BC).
Do đó, tứ giác MNCH là hình bình hành.
Hai đường chéo HN và MC cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.
Tương tự, xét tứ giác ACHE là hình bình hành (theo câu b), hai đường chéo AH và CE cắt nhau tại trung điểm của AH.
Xét tứ giác AMHN: có M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, H là trung điểm BC⇒MH∥AC và NH∥AB. Tứ giác AMHN là hình bình hành ⇒ AH và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Như vậy, giao điểm của AH và MN trùng với giao điểm của AH và CE. Vậy ba đường thẳng AH,CE,MN đồng quy tại trung điểm của AH.

d) Chứng minh AB=3AK

Gọi O là giao điểm của AH và CE. Vì ACHE là hình bình hành nên O là trung điểm của AH.
Xét tam giác ABH, ta có:
- M là trung điểm của AB ⇒HM là đường trung tuyến thứ nhất.
- O là trung điểm của AH ⇒BO là đường trung tuyến thứ hai.
Gọi K′ là giao điểm của BO và HM. Theo tính chất trọng tâm, K′ là trọng tâm của △ABH.
Vì AHBE là hình chữ nhật nên hai đường chéo AB và HE cắt nhau tại M và bằng nhau, đồng thời EB∥AH.
Dễ thấy O thuộc CE, đường thẳng CE kéo dài cắt AB tại K. Xét tam giác ABH có O là trung điểm AH, kẻ đường thẳng từ E qua O cắt AB tại K.
Vì E,O,C thẳng hàng và O là trung điểm của AH:
- Trong △AHK và △EOK, do AE∥HB và ACHE là hình bình hành ⇒O là trung điểm CE.
- Xét tam giác ABH: CE kéo dài cắt AB tại K. Kẻ HM cắt CE tại trọng tâm của tam giác AHC hoặc dùng định lý Menelaus cho △ABH với đường thẳng KOC:KBKA⋅CHCB⋅OAOH=1Thay CHCB=2 và OAOH=1:KBKA⋅2⋅1=1⇒KBKA=21⇒KB=2AK
Ta có AB=AK+KB=AK+2AK=3AK.
Vậy AB=3AK (đpcm).

Câu trả lời:

Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán:

a) Chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật

Xét tứ giác AHBE, ta có M là trung điểm của đường chéo AB (theo giả thiết) và M là trung điểm của đường chéo HE (theo giả thiết).
Do hai đường chéo AB và HE cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên AHBE là hình bình hành.
Lại có AH là đường cao của △ABC nên AHB=90∘.
Hình bình hành AHBE có một góc vuông (AHB=90∘) nên AHBE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác ACHE là hình bình hành

Vì AHBE là hình chữ nhật (theo câu a) nên AE∥HB và AE=HB.
Do AH là đường cao của tam giác cân ABC (cân tại A) nên AH đồng thời là đường trung tuyến, suy ra H là trung điểm của BC, tức là HB=HC.
Do AE∥HB và H∈BC nên AE∥HC.
Do AE=HB và HB=HC nên AE=HC.
Tứ giác ACHE có cặp cạnh đối AE∥HC và AE=HC nên ACHE là hình bình hành.

c) Chứng minh các đường thẳng AH,CE,MN đồng quy

Xét tam giác ABC, M là trung điểm AB và N là trung điểm AC, do đó MN là đường trung bình của △ABC⇒MN∥BC.
Xét tứ giác MNCH, có MN∥HC (vì H∈BC) và MN=21BC=HC (do H là trung điểm BC).
Do đó, tứ giác MNCH là hình bình hành.
Hai đường chéo HN và MC cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.
Tương tự, xét tứ giác ACHE là hình bình hành (theo câu b), hai đường chéo AH và CE cắt nhau tại trung điểm của AH.
Xét tứ giác AMHN: có M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, H là trung điểm BC⇒MH∥AC và NH∥AB. Tứ giác AMHN là hình bình hành ⇒ AH và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Như vậy, giao điểm của AH và MN trùng với giao điểm của AH và CE. Vậy ba đường thẳng AH,CE,MN đồng quy tại trung điểm của AH.

d) Chứng minh AB=3AK

Gọi O là giao điểm của AH và CE. Vì ACHE là hình bình hành nên O là trung điểm của AH.
Xét tam giác ABH, ta có:
- M là trung điểm của AB ⇒HM là đường trung tuyến thứ nhất.
- O là trung điểm của AH ⇒BO là đường trung tuyến thứ hai.
Gọi K′ là giao điểm của BO và HM. Theo tính chất trọng tâm, K′ là trọng tâm của △ABH.
Vì AHBE là hình chữ nhật nên hai đường chéo AB và HE cắt nhau tại M và bằng nhau, đồng thời EB∥AH.
Dễ thấy O thuộc CE, đường thẳng CE kéo dài cắt AB tại K. Xét tam giác ABH có O là trung điểm AH, kẻ đường thẳng từ E qua O cắt AB tại K.
Vì E,O,C thẳng hàng và O là trung điểm của AH:
- Trong △AHK và △EOK, do AE∥HB và ACHE là hình bình hành ⇒O là trung điểm CE.
- Xét tam giác ABH: CE kéo dài cắt AB tại K. Kẻ HM cắt CE tại trọng tâm của tam giác AHC hoặc dùng định lý Menelaus cho △ABH với đường thẳng KOC:KBKA⋅CHCB⋅OAOH=1Thay CHCB=2 và OAOH=1:KBKA⋅2⋅1=1⇒KBKA=21⇒KB=2AK
Ta có AB=AK+KB=AK+2AK=3AK.
Vậy AB=3AK (đpcm).

Doãn Hải Minh · Answer

a, Xét tứ giác $AHBE$

tứ giác $AHBE$ có hai đường chéo $AB$ và $HE$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường (theo giả thiết $M$ là trung điểm của $AB$ và $M$ là trung điểm của $HE$ ).

$\Longrightarrow AHBE$ là hình bình hành

Mặt khác, $AH \perp BC$ $\Rightarrow \widehat{AHB} = 90^\circ$

Hình bình hành $AHBE$ có một góc vuông $\widehat{AHB} = 90^\circ$ nên $AHBE$ là hình chữ nhật.

b, Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AH$ , nên $AH$ đồng thời là đường trung tuyến $AH$ $\Longrightarrow H$ là trung điểm của $BC$ , tức là $HC=HB$ .

Tứ giác $AHBE$ là hình chữ nhật (theo câu a) $\Rightarrow AE // HB$ và $AE=HB$ .

$\Longrightarrow AE//HC$ và $AE = HC$ (Vì $H \in BC$ và $HB=HC$ )

Tứ giác $ACHE$ có cặp cạnh đối $AE$ và $HC$ song song và bằng nhau, nên $ACHE$ là hình bình hành.

c, Xét tứ giác $ACHE$ là hình bình hành (theo câu b), hai đường chéo $AH$ và $CE$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường.

Xét $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $AC$ , nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow MN // BC \text{ và } MN = \frac{1}{2} BC$

Vì $H$ là trung điểm của $BC$ nên $HC = \frac{1}{2} BC \Rightarrow MN // HC \text{ và } MN = HC$

$\Longrightarrow HNMC$ là hình bình hành

Hai đường chéo $NC$ và $HM$ không thuộc đường chéo đang xét, nhưng ta xét hình bình hành $ANHM$

$MA // HC$ , xét tứ giác $AHCN$ :

Mặt khác, $MN // BC$ (tức $MN//HC$ ), mà qua $N$ chỉ có một đường thẳng song song với $HC$ , nên $O\in MN$

Vậy $MN$ đi qua $O$ ( dpcm )

d, Xét $\Delta AHE:$

$K$ là giao điểm của $CE$ và $AB$ , mà $AB \cap HE = \{M\}$ và $CE \cap AH = \{O\}$ .

$AM$ là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ (vì $M$ là trung điểm $HE$ ).

$EO$ là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $E$ (vì $O$ là trung điểm $AH$ )

Hai đường trung tuyến $AM$ và $EO$ cắt nhau tại $K$ , nên $K$ là trọng tâm của $\Delta AHE$ .

Theo tính chất trọng tâm:

$AK = \frac{2}{3} AM$

Mà $M$ là trung điểm của $AB$ nên $AM = \frac{1}{2} AB \Rightarrow AB = 2 AM$

Thay vào biểu thức $AK = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} AB\right) = \frac{1}{3} AB \Rightarrow AB = 3AK$

Vậy $AB = 3AK$ (dpcm)