Question

[Anh Phương]

Cho tam giác ABC có AB bé hơn AC kẻ tia phân giác AD của góc BAC( d thuộc BC) trên cạnh ac lấy điểm E sao cho ae = ab Trên tia đối của tia de lấy điểm F sao cho DF=DC.

a) chứng minh tam giác ADB = tam giác ADE.

b) Chứng minh BF = EC

c) Chứng minh A,B,F thẳng hàng

Answer 1

[Lê Khánh Mỹ Tâm]

a) Chứng minh $\triangle ADB = \triangle ADE$

Xét hai tam giác $\triangle ADB$ và $\triangle ADE$, ta có:

* $AB = AE$ (theo giả thiết).

* $\angle BAD = \angle EAD$ (vì $AD$ là tia phân giác của góc $\angle BAC$).

* $AD$ là cạnh chung.

Suy ra: $\triangle ADB = \triangle ADE$ (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh

b) Chứng minh $BF = EC$

Từ kết quả của câu a ($\triangle ADB = \triangle ADE$), ta suy ra các yếu tố tương ứng bằng nhau:

* $DB = DE$ (hai cạnh tương ứng).

* $\angle ABD = \angle AED$ (hai góc tương ứng).

Xét hai tam giác $\triangle DBF$ và $\triangle DEC$, ta có:

* $DB = DE$ (chứng minh trên).

* $\angle BDF = \angle EDC$ (hai góc đối đỉnh vì $F$ thuộc tia đối của tia $DE$).

* $DF = DC$ (theo giả thiết).

Suy ra: $\triangle DBF = \triangle DEC$ (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh).

Từ đó dẫn đến hai cạnh tương ứng bằng nhau: $BF = EC$. (đpcm)

c) Chứng minh ba điểm $A, B, F$ thẳng hàng

Từ kết quả của câu b ($\triangle DBF = \triangle DEC$), ta suy ra:

* $\angle DBF = \angle DEC$ (hai góc tương ứng).

Mặt khác, vì điểm $E$ nằm trên cạnh $AC$ nên hai góc $\angle AED$ và $\angle DEC$ là hai góc kề bù (có tổng số đo bằng $180^\circ$):

$$\angle AED + \angle DEC = 180^\circ$$

Ta thay các góc bằng nhau vào biểu thức:

* Thay $\angle AED$ bằng $\angle ABD$

* Thay $\angle DEC$ bằng $\angle DBF$

Ta được:

$$\angle ABD + \angle DBF = 180^\circ \Rightarrow \angle ABF = 180^\circ$$

Vì góc $\angle ABF$ có số đo bằng $180^\circ$ (góc bẹt) nên ba điểm $A, B, F$ thẳng hàng. (đpcm)