Question

[Nguyễn Thảo Nhi]

Cho \(A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{100}.\) Chứng minh A vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 7.

Answer 1

[phong nguyen]

CM chia hết cho 3:

<=> A=\(2\left(2+1\right)+\cdots+2^{99}\left(2+1\right)\)

=> \(A=2\cdot3+.\ldots+2^{99}\cdot3\)

\(A=3\left(2+\cdots+2^{99}\right)\)

=> A⋮3

CM chia hết cho 7

\(\Leftrightarrow A=2\left(1+2+2^2\right)+.\ldots+2^{98}\left(1+2+2^2\right)\)

\(A=2\cdot7+\cdots+2^{98}\cdot7\)

\(A=7\left(2+\cdots+2^{98}\right)\)

=>A⋮7

Answer 2

[Nguyễn Trọng Tín]

Ta có: $A = (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + \dots + (2^{99} + 2^{100})$

$A = 2 \cdot (1 + 2) + 2^3 \cdot (1 + 2) + \dots + 2^{99} \cdot (1 + 2)$

$A = 2 \cdot 3 + 2^3 \cdot 3 + \dots + 2^{99} \cdot 3$

$A = 3 \cdot (2 + 2^3 + \dots + 2^{99})$

Vì $3 \ \vdots \ 3$ nên $3 \cdot (2 + 2^3 + \dots + 2^{99}) \ \vdots \ 3$

Do đó: $A \ \vdots \ 3$ (1)

Lại có:

$A = 2 + (2^2 + 2^3 + 2^4) + (2^5 + 2^6 + 2^7) + \dots + (2^{98} + 2^{99} + 2^{100})$

$A = 2 + 2^2 \cdot (1 + 2 + 2^2) + 2^5 \cdot (1 + 2 + 2^2) + \dots + 2^{98} \cdot (1 + 2 + 2^2)$

$A = 2 + 2^2 \cdot 7 + 2^5 \cdot 7 + \dots + 2^{98} \cdot 7$

$A = 2 + 7 \cdot (2^2 + 2^5 + \dots + 2^{98})$

Vì $7 \cdot (2^2 + 2^5 + \dots + 2^{98}) \ \vdots \ 7$ nhưng $2$ không chia hết cho $7$ nên kết quả này cho thấy $A$ chia cho $7$ dư $2$.

Answer 3

[nguyenbaanh]

mkk quên chia số mũ 100 cho 3 thành ra nó dư 1 vậy nên số 2 dư cơ bạn :v, bạn Tín làm đúng rồi